백진언, 60년 소파 문제 해결 지금 SNS에서 난리

소파 문제의 뼈대는 간단합니다. 폭이 1인 ㄴ자 복도를 통과할 수 있는 도형 중 넓이가 가장 큰 모양은 무엇인가. 1966년 레오 모저가 던진 이 질문은 얼핏 쉬워 보이지만, 조금만 그려 보면 모서리를 도는 순간 회전과 이동이 동시에 일어나서 머리가 지끈합니다. 그동안 후보 모양은 많았지만, 실제로 ‘최댓값’이라고 딱 못 박은 증명은 없었죠. 핵심 상품(?) 격인 도형은 1992년에 조셉 거버가 제안한 곡선 소파입니다. 넓이 약 2.2195로 알려져 있었는데, 사람들은 “진짜 최대냐”를 못 박지 못한 채 수십 년을 보냈습니다. 이번에 백진언 박사가 바로 그 거버 소파가 진짜 최대라는 걸 이론으로 밀어붙였고, SNS가 들썩인 이유가 여기에 있습니다.

디자인보다 경로가 결정한다는 사실

직접 메모장에 궤적을 스케치해 보니, 재미있는 포인트가 보였습니다. 이 문제는 소파의 디자인만이 아니라, 복도를 지나는 경로가 함께 정답을 만든다는 점입니다. 소파가 지나며 정확히 90도 돌아야 하고, 안쪽 모서리가 그리는 길이 스스로 겹치지 않아야 넓이를 깎아 먹지 않습니다. 저는 예전에 직사각형이나 반원 조합으로 억지로 돌려 보던 습관이 있었는데, 그 방식은 회전 여유를 잃어 면적 손실이 컸습니다. 거버 소파는 가운데 몸통과 양쪽 꼬리 같은 부분이 미세하게 균형을 잡아, 벽에 딱 붙어 흐르듯 돌아갑니다. 실제 생활에서 코너링이 안 될 때, 괜히 뒤로 빼고 다시 밀다 더 망치는 것처럼, 소파 문제에서도 불필요한 전진·후진이 생기면 넓이가 줄어든다는 걸 깨달았습니다.

정확한 수치, 사용감으로 체감한 장점과 주의점

핵심 수치는 분명합니다. 최대 넓이 2.2195. 이름은 ‘거버 소파’. 백진언 박사는 컴퓨터에 기대지 않고 논리만으로 이 값이 한계라는 걸 증명했고, 지금은 Annals of Mathematics에서 동료 검토를 밟고 있습니다. 숫자만 보면 딱딱하지만, 체감 포인트는 두 가지였습니다. 첫째, 회전 각을 아낄수록 이득이라는 직감이 틀릴 수 있다는 점. 최대 해는 결국 90도를 꽉 채워 돌더군요. 둘째, 벽과의 접촉을 부드럽게 유지하는 경로가 가장 넓이를 살린다는 점입니다. 주의할 점도 있습니다. 소파 문제는 평면에서 폭 1의 복도를 상정합니다. 실제 집 이사에서는 두께, 쿠션의 눌림, 문틀 돌기, 바닥 마찰 같은 변수가 끼어들죠. 현실 적용용 ‘템플릿’으로 쓸 수는 없고, 원리는 “회전 타이밍과 접촉선의 연속성”을 챙기라는 정도로 받아들이는 게 맞습니다.

써보니, 소파 하나 돌리는 장면이 이렇게 풍성한 얘기를 품고 있었다는 게 신기합니다. 개인적으로는 거실 코너에서 몇 번이나 낑낑대던 기억이, 숫자 2.2195와 함께 머릿속에 질서 있게 정리되는 느낌이 들었습니다. 생활의 불편함을 찬찬히 물고 늘어지면 진짜로 끝까지 닿는구나, 이런 생각이 자연스럽게 따라오네요. 소파 문제 이야기를 친구들에게 전했더니 다들 “그 소파 어디서 사냐”라고 농담을 던지더군요. 이름은 소파지만 상품 카탈로그가 아니라, 경로와 형태가 만나는 한 장의 도형이라는 걸 알게 됐습니다.